Наклонный конус определение. Урок «Прямой круговой конус, его элементы. Осевые сечения конуса."

Класс: 11 Урок №14 Дата проведения: ____________

Тема урока: «Прямой круговой конус, его элементы. Осевые сечения конуса. Сечения конуса плоскостью, параллельной основанию. Развертка конуса»

Цель урока:

Ввести понятия конической поверхности, конуса, элементов конуса (боковая поверхность, основание, вершина, образующая, ось, высота), понятие усеченного конуса;

Вывести формулы для вычисления площадей боковой и полной поверхностей конуса и усеченного конуса;

Учить обучающихся решать задачи по этой теме.

Содействовать творческому восприятию учащимися учебного материала и их желание самосовершенствоваться.

Воспитывать организованность, дисциплинированность, ответственность за свой труд и труд одноклассников.

Тип урока: изучение нового материала.

Оборудование урока: интерактивная доска, таблицы, модели конусов, материал для изготовления моделей: спицы, модель плоскости (пенопласт), бумага, клей, ножницы, циркуль, транспортир, линейка.

Форма организации деятельности учащихся : г рупповая.

Ход урока

1. Фронтальная работа

Из предложенных геометрических фигур выбрать конус

Знакомство с конической поверхностью

Определение №1 Коническая поверхность называется поверхность, образованная движением прямой, которая проходит через данную точку и пересекает данную плоскую линию.

Прямая а - образующая;

Плоская линия MN - направляющая.

Незамкнутая коническая поверхность

Если направляющая - замкнутая, то коническая поверхность – замкнутая.

Определение №2 Конусом называется тело, ограниченное замкнутой конической поверхностью и пересекающей её плоскостью.

Знакомство с конусом и его элементами

А ) Конус

SO a (SO= Н , SO=h)

SO - высота конуса

SA - образующая

S - вершина конуса

Кривая ABA - направляющая .

Б) Пусть прямоугольный прямоугольник SOA вращается вокруг катета SO; при полном обороте гипотенуза AS описывает коническую поверхность, катет OA описывает круг.

Такое тело называется конусом вращения . (прямой круговой конус).

Прямой круговой конус

S - вершина конуса

SA - образующая

SO=h - высота конуса

(ось конуса - а)

Основание конуса – круг (О; r)

О - центр основания,

AO=OB=r - радиус основания круга

D SAB - осевое сечение

a||b, b SO, a SO

Круг (о;r) ~ Круг (о1; r1)

Понятие боковой (полной) поверхности.

II. Работа в группах (3-5 человек)

(задания раздается каждой группе на карточке)

Задание по теме «Конус»

1) Изобразите конус. По рисунку определите все элементы конуса.

2) По заданной модели конуса постройте развертку этого конуса. Определите соответствие элементов развертки конуса, чертежа и модели конуса.

3) Из листа плотной бумаги изготовить конус, чтобы его полная поверхность: S 110 см2 при радиусе основания r 3.1 см.

Определите какие инструменты вам для этого понадобятся, какие расчеты необходимы сделать, какие формулы придется вспомнить, а какие вывести новые?

4) Оформите работу на месте по плану:

А) Какие у вас распределились обязанности в группе в процессе выполнения заданий:

генератор идей;

конструктор;

расчетчик;

оформитель;

изготовитель.

Б) Опишите способы и подходы к решению задачи.

Необходимые расчеты для изготовления модели конуса. (Чертеж. Формулы. Вывод)

Изготовление конуса.

5) Модель конуса готова.

6) Составьте формулу для расчета площади сечения, параллельного основанию конуса и делящего высоту конуса в отношении 1:3, считая от вершины

7) Составьте формулу для расчета площади сечения, проходящего через ось конуса. Чему равен угол при вершине данного сечения?

8) Каким образом можно из вашей модели получить усеченный конус? Рассчитать его полную поверхность используя задания (6).

9) Составьте и решите еще три задачи на данную тему.

Замечание: учитель выступает в роли консультанта при решении задач, пользуясь вопросами- подсказками и опираясь на ключевые слова.

Одной из групп были даны более легкие задания:

№1. Заполнить пропуски:

Прямая, которая при движении образует коническую поверхность, называется…;

Линия, которую пересекает образующая, называется…..;

Конус вращения - частный случай…, когда основание конуса - .., а основание высоты - ..;

Сечение конуса вращения плоскостью, параллельной основанию, - …. Найдите площадь сечения.

Если осевое сечение конуса- равносторонний треугольник, то конус…..Сделать чертеж:

№2. Решите задачу, заполняя пропуски.

В развертке боковой поверхности конуса центральный угол равен 200 o . Найти угол между образующей и основанием конуса.

Дано: ВSB=200 o , SA=L, ОВ=r

Найти SAO

Решение:

1) a =360 o …..| cos x=…

2) 200 o =…

3) cos x =… , x -

А) … образующей;

Б) … направляющей;

В) …конус, …. Круг…, центр основания

Г) …круг, …расстояния сечения от вершины конуса;

Д) … называется равносторонним

А)

Б) 200 o = 360 o *cos x;

Задание на дом.

Изучить усеченный конус, решить задачи №

Итог урока.

В результате работы ученики

Сами вывели формулы для вычисления боковой и полной поверхностей конуса

Нарисовали развертку

Сделали необходимые расчеты

Группы

L(см)

9,2

3,1

21,1754

89,5528

110,7282

7,8

28,26

73,476

101,74

9,4

28,26

88,548

116,808

10,4

4,9

75,3914

160,0144

235,4058

Провели исследовательскую работу,

Решили задачи,

Постоянно общались между собой, учились мыслить и мотивировать своих товарищей по работе.

Получили не только необходимые знания, но и большое удовольствие.

Выяснили, что слово «Конус» произошло от греческого слова «xwnos», что означает шишка.

Полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки (вершины конуса) и проходящих через плоскую поверхность. Иногда конусом называют часть такого тела, полученную объединением всех отрезков, соединяющих вершину и точки плоской поверхности (последнюю в таком случае называют основанием конуса, а конус называют опирающимся на данное основание). Далее будет рассматриваться именно этот случай, если не оговорено обратное. Если основание конуса представляет собой многоугольник , конус становится пирамидой .

"== Связанные определения ==

Отрезок, соединяющий вершину и границу основания, называется образующей конуса .
Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой ) поверхностью конуса . Образующая поверхность конуса является конической поверхностью .
Отрезок, опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина такого отрезка), называется высотой конуса .
Если основание конуса имеет центр симметрии (например, является кругом или эллипсом) и ортогональная проекция вершины конуса на плоскость основания совпадает с этим центром, то конус называется прямым . При этом прямая, соединяющая вершину и центр основания, называется осью конуса .
Косой (наклонный ) конус - конус, у которого ортогональная проекция вершины на основание не совпадает с его центром симметрии.
Круговой конус - конус, основание которого является кругом.
Прямой круговой конус (часто его называют просто конусом) можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой , содержащей катет (эта прямая представляет собой ось конуса).
Конус, опирающийся на эллипс , параболу или гиперболу , называют соответственно эллиптическим , параболическим и гиперболическим конусом (последние два имеют бесконечный объём).
Часть конуса, лежащая между основанием и плоскостью, параллельной основанию и находящейся между вершиной и основанием, называется усечённым конусом .

Свойства

Если площадь основания конечна, то объём конуса также конечен и равен трети произведения высоты на площадь основания. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание и имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, поскольку их высоты равны.
Центр тяжести любого конуса с конечным объёмом лежит на четверти высоты от основания.
Телесный угол при вершине прямого кругового конуса равен

где - угол раствора конуса (то есть удвоенный угол между осью конуса и любой прямой на его боковой поверхности).

Площадь боковой поверхности такого конуса равна

где - радиус основания, - длина образующей.

Объем кругового конуса равен

Пересечение плоскости с прямым круговым конусом является одним из конических сечений (в невырожденных случаях - эллипсом, параболой или гиперболой, в зависимости от положения секущей плоскости).

Обобщения

В алгебраической геометрии конус - это произвольное подмножество векторного пространства над полем , для которого для любого

См. также

Конус (топология)

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Конус (геометрическая фигура)" в других словарях:

Конус: В математике Конус геометрическая фигура. Конус над топологическим пространством. Конус(Теория Категорий). В технике Конус инструментальный метод сопряжения инструмента и шпинделя в станках. Конусное устройство узел… … Википедия

Геометрия раздел математики, тесно связанный с понятием пространства; в зависимости от форм описания этого понятия возникают различные виды геометрии. Предполагается, что читатель, приступая к чтению этой статьи, обладает некоторыми… … Энциклопедия Кольера

Визуализация изображения информации на экране дисплея (монитора). В отличие от воспроизведения изображения на бумаге или ином носителе, изображение, созданное на экране, можно почти немедленно стереть или (и) подправить, сжать или растянуть,… … Энциклопедический словарь

История науки … Википедия

История науки По тематике Математика Естественные науки … Википедия

- (греч. geodaisia, от ge Земля и daio делю, разделяю), наука об определении положения объектов на земной поверхности, о размерах, форме и гравитационном поле Земли и других планет. Это отрасль прикладной математики, тесно связанная с геометрией,… … Энциклопедия Кольера

В сечении конической поверхности плоскостью получаются кривые второго порядка - окружность, эллипс, парабола и гипербола. В частом случае при определенном расположении секущей плоскости и когда она проходит через вершину конуса (S∈γ), окружность и эллипс вырождаются в точку или в сечении попадает одна или две образующих конуса.

Дает - окружность, когда секущая плоскость перпендикулярна к его оси и пересекает все образующие поверхности.

Дает - эллипс, когда секущая плоскость не перпендикулярна к его оси и пересекает все образующие поверхности.

Построим эллиптическое ω плоскостью α , занимающей общее положение.

Решение задачи на сечение прямого кругового конуса плоскостью значительно упрощается, если секущая плоскость занимает проецирующее положение.

Способом перемены плоскостей проекций переведем плоскость α из общего положения в частное - фронтально-проецирующее. На фронтальной плоскости проекций V 1 построим след плоскости α и проекцию поверхности конуса ω плоскостью дает эллипс, так как секущая плоскость пересекает все образующие конуса. Эллипс проецируется на плоскости проекций в виде кривой второго порядка.
На следе плоскости α V берем произвольную точку 3" замеряем ее удаление от плоскости проекций H и откладываем его по линии связи уже на плоскости V 1 , получая точку 3" 1 . Через нее и пройдет след αV 1 . Линия сечения конуса ω - точки A" 1 , E" 1 совпадает здесь со следом плоскости. Далее построим вспомогательную секущию плоскость γ3, проведя на фронтальной плоскости проекций V 1 ее след γ 3V 1 . Вспомогательная плоскость пересекаясь с конической поверхностью ω даст окружность, а пересекаясь с плоскостью α даст горизонтальную прямую h3. В свою очередь прямая пересекаясь с окружностью дает искомые точки C`и K` пересечения плоскости α c конической поверхностью ω . Фронтальные проекции искомых точек C" и K" построим как точки принадлежащие секущей плоскости α .

Для нахождения точки E(E`, E") линии сечения, проводим через вершину конуса горизонтально-проецирующую плоскость γ 2 H , которая пересечет плоскость α по прямой 1-2(1`-2`, 1"-2") . Пересечение 1"-2" с линией связи дает точку E" - наивысшую точку линии сечения.

Для нахождения точки указывающей границы видимости фронтальной проекции линии сечения, проводим через вершину конуса горизонтально-проецирующую плоскость γ 5 H и находим горизонтальную проекцию F` искомой точки. Также, плоскость γ 5 H пересечет плоскость α по фронтали f(f`, f") . Пересечение f" с линией связи дает точку F" . Соединяем полученные на горизонтальной проекции точки плавной кривой, отметив на ней крайнюю левую точку G - одну из характерных точек линии пересечения.
Затем, строим проекции G на фронтальных плоскостях проекций V1 и V. Все построенные точки линии сечения на фронтальной плоскости проекций V соединяем плавной линией.

Дает - параболу, когда секущая плоскость параллельна одной образующей конуса.

При построении проекций кривых - конических сечений необходимо помнить о теореме: ортогональная проекция плоского сечения конуса вращения на плоскость, перпендикулярную к его оси, есть кривая второго порядка и имеет одним из своих фокусов ортогональную проекцию на эту плоскость вершины конуса.

Рассмотрим построение проекций сечения, когда секущая плоскость α параллельна одной образующей конуса (SD) .

В сечении получится парабола с вершиной в точке A(A`, A") . Согласно теореме вершина конуса S проецируется в фокус S` . По известному =R S` определяем положение директрисы параболы. В последующем точки кривой строятся по уравнению p=R .

Построение проекций сечения, когда секущая плоскость α параллельна одной образующей конуса, может быть выполнено:

С помощью вспомогательных горизонтально-проецирующих плоскостей проходящих через вершину конуса γ 1 H и γ 2 H .

Сначала определятся фронтальные проекции точек F", G" - на пересечении образующих S"1", S"2" и следа секущей плоскости α V . На пересечении линий связи с γ 1 H и γ 2 H определяться F`, G` .

Аналогично могут быть определены и другие точки линии сечения, например D", E" и D`, E` .

С помощью вспомогательных фронтально-проецирующих плоскостей ⊥ оси конуса γ 3 V и γ 4 V .

Проекциями сечения вспомогательных плоскостей и конуса на плоскость H , будут окружности. Линиями пересечения вспомогательных плоскостей с секущей плоскостью α будут фронтально- проецирующие прямые.

Дает - гиперболу, когда секущая плоскость параллельна двум образующим конуса.

Елена Голубева

Презентация для изучения темы "Тела вращения".

Конус – это тело, которое состоит из круга. Круг является основанием конуса .

Вершиной конуса – являются точки не лежащие в плоскости этого круга и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания.

Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса .

Прямой конус – если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярно плоскости основания.

Высота конуса – перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания.

Ось прямого кругового конуса – это прямая, содержащая его высоту.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

К о н у с

Наглядно прямой круговой конус можно представить себе как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси.

Конус – это тело, которое состоит из круга. Круг является основанием конуса. Вершиной конуса – являются точки не лежащие в плоскости этого круга и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания. Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса. Прямой конус – если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярно плоскости основания. Высота конуса – перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Ось прямого кругового конуса – это прямая, содержащая его высоту.

Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен r , его высота – h , а расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d . Найдите h , если r = 10 дм, d = 8 дм, АВ = 13 дм. ЗАДАЧА Дано: Цилиндр, r = 10 дм – радиус основания, d = 8 дм – расстояние от ОО1 до АВ, АВ = 13 дм, h – высота. Найти: h . А 1 О О 1 В 1 K Решение: Построим секущую плоскость ВВ 1 АА 1 , параллельную оси цилиндра, в которой лежит прямая АВ. Получили прямоугольник с диагональю АВ. ВВ 1 АА 1 ║ОО 1 . ВВ 1 = АА 1 = h . ВАВ 1 – прямоугольный. По теореме Пифагора: ВВ 1 = √ АВ ² - АВ 1 ² Найдем АВ 1: ∆ОАВ1 – равнобедренный (ОА = ОВ1 = r). ОК = d т. к. ОК ┴ АВ1 (высота ∆ ОАВ1), то ОК – медиана (К – середина отрезка АВ1). ∆АОК – прямоугольный, по теореме Пифагора: КА = √ ОА ² - ОК ² , КА = √ 10 ² - 8 ² = 6 дм АВ1 = 2 · КА = 6 · 2 = 12 дм ВВ1 = √ 13 ² - 12 ² = √ (13 - 12)(13 + 12) = 5 дм, h = ВВ1 = 5 дм.

Дано: цилиндр ABCD – сечение, квадрат дуга AD - 90 ° R = 4 см Найти: S ABCD Решение: S ABCD = AB · BC = BC 2 , т.к. ABCD – квадрат ВОС – прямоугольный, т.к. дуга AD - 90 ° ВОС = 90 ° ОС = ОВ = 4 (см), т.к. ОС и ОВ – радиусы основания ВС = ОВ 2 + ОС 2 = 4 2 + 4 2 = 32 = 4 2 (см) S ABCD = (4 2) 2 = 32 (см 2) Ответ: 32 см 2

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели урока:

Образовательная : ввести понятие конуса, его элементов; рассмотреть построение прямого конуса; рассмотреть нахождение полной поверхности конуса; формировать умения решать задачи на нахождение элементов конуса.
Развивающая : развивать грамотную математическую речь, логическое мышление.
Воспитательная : воспитывать познавательную активность, культуру общения, культуры диалога.

Форма урока: урок формирования новых знаний и умений.

Форма учебной деятельности: коллективная форма работы.

Методы, используемые на уроке: объяснительно-иллюстративный, продуктивный.

Дидактический материал: тетрадь, учебник, ручка, карандаш, линейка, доска, мел и цветные мелки, проектор и презентация «Конус. Основные понятия. Площадь поверхности конуса».

План урока:

Организационный момент (1 мин).
Подготовительный этап (мотивация) (5 мин).
Изучение нового материала (15 мин).
Решение задач на нахождение элементов конуса (15 мин).
Подведение итогов урока (2 мин).
Задание на дом (2 мин).

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

Цель: подготовить к усвоению нового материала.

2. Подготовительный этап

Форма: устная работа.

Цель: знакомство с новым телом вращения.

Конус в переводе с греческого “konos” означает “сосновая шишка”.

Встречаются тела в форме конуса. Их можно рассмотреть в различных предметах, начиная с обычного мороженого и заканчивая техникой, так же в детских игрушках (пирамидка, хлопушка и др.), в природе (ель, горы, вулканы, смерчи).

(Используются Слайды 1-7)

Деятельность учителя	Деятельность ученика
3. Объяснение нового материала Цель: ввести новые понятия и свойства конуса.
1. Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. (Слайд 8) Теперь рассмотрим, как строится конус. Сначала изображаем окружность с центром O и прямую OP, перпендикулярную к плоскости этой окружности. Каждую точку окружности соединим отрезком с точкой P (учитель поэтапно строит конус). Поверхность, образованная этими отрезками, называется конической поверхностью , а сами отрезки – образующими конической поверхности .	В тетрадях строят конус.
(диктует определение) (Слайд 9) Тело, ограниченной конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом .	Записывают определение.
Коническая поверхность называется боковой поверхностью конуса , а круг – основанием конуса . Прямая OP, проходящая через центр основания и вершину, называется осью конуса . Ось конуса перпендикулярна плоскости основания. Отрезок OP называется высотой конуса . Точка P называется вершиной конуса , а образующие конической поверхности – образующими конуса .	На чертеже подписывают элементы конуса.
Назовите две образующие конуса и сравните их?	PA и PB, они равны.
Почему образующие равны?	Проекции наклонных равны как радиусы окружности, значит и сами образующие равны.
Запишите в тетради: свойства конуса:	(Слайд 10)
1. Все образующие конуса равны. Назовите углы наклона образующих к основанию? Сравните их. Почему, докажите это?	Углы: PСО, PDO. Они равны. Так как треугольник PAB – равнобедренный.
2. Углы наклона образующих к основанию равны. Назовите углы между осью и образующими? Что можно сказать об этих углах?	СРО и DPO Они равны.
3. Углы между осью и образующими равны. Назовите углы между осью и основанием? Чему равны эти углы?	POC и POD. 90 о
4. Углы между осью и основанием прямые. Мы будем рассматривать только прямой конус.
2. Рассмотрим сечение конуса различными плоскостями. Что представляет собой секущая плоскость, проходящая через ось конуса?	Треугольник.
Какой это треугольник?	Он равнобедренный.
Почему?	Две его стороны являются образующими, а они равны.
Что представляет собой основание данного треугольника?	Диаметр основания конуса.
Такое сечение называется осевым. (Слайд 11) Начертите в тетрадях и подпишите это сечение. Что представляет собой секущая плоскость, перпендикулярная оси OP конуса?	Круг.
Где расположен центр этого круга?	На оси конуса.
Это сечение называется круговым сечением.(Сдайл 12) Начертите в тетрадях и подпишите это сечение. Существуют и другие виды сечений конуса, которые не являются осевыми и не параллельны основанию конуса. Рассмотрим их на примерах. (Слайд 13)	Чертят в тетрадях.
3. Теперь выведем формулу полной поверхности конуса. (Слайд 14) Для этого боковую поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра, можно развернуть на плоскость, разрезав ее по одной из образующих.
Что является разверткой боковой поверхности конуса? (чертит на доске)	Круговой сектор.
Что является радиусом этого сектора?	Образующая конуса.
А длина дуги сектора?	Длина окружности.
За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки. (Слайд 15)	, где – градусная мера дуги.
Чему равна площадь кругового сектора?
Значит, чему равна площадь боковой поверхности конуса? Выразим через и . (Слайд 16) Чему равна длина дуги?
С другой стороны эта же дуга представляет собой длину окружности основания конуса. Чему она равна?
Подставляя в формулу боковой поверхности конуса получим, . Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. . Запишите эти формулы.	Записывают: , .