Действия с дробями 4 как решать. Обыкновенные дроби. Деление с остатком. Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Теперь, когда мы научились складывать и умножать отдельные дроби, можно рассматривать более сложные конструкции. Например, что, если в одной задаче встречается и сложение, и вычитание, и умножение дробей?

В первую очередь, надо перевести все дроби в неправильные. Затем последовательно выполняем требуемые действия - в том же порядке, как и для обычных чисел. А именно:

Сначала выполняется возведение в степень - избавьтесь от всех выражений, содержащих показатели;
Затем - деление и умножение;
Последним шагом выполняется сложение и вычитание.

Разумеется, если в выражении присутствуют скобки, порядок действий изменяется - все, что стоит внутри скобок, надо считать в первую очередь. И помните о неправильных дробях: выделять целую часть надо лишь тогда, когда все остальные действия уже выполнены.

Переведем все дроби из первого выражения в неправильные, а затем выполним действия:

Теперь найдем значение второго выражения. Тут дробей с целой частью нет, но есть скобки, поэтому сначала выполняем сложение, и лишь затем - деление. Заметим, что 14 = 7 · 2 . Тогда:

Наконец, считаем третий пример. Здесь есть скобки и степень - их лучше считать отдельно. Учитывая, что 9 = 3 · 3 , имеем:

Обратите внимание на последний пример. Чтобы возвести дробь в степень, надо отдельно возвести в эту степень числитель, и отдельно - знаменатель.

Можно решать по-другому. Если вспомнить определение степени, задача сведется к обычному умножению дробей:

Многоэтажные дроби

До сих пор мы рассматривали лишь «чистые» дроби, когда числитель и знаменатель представляют собой обыкновенные числа. Это вполне соответствует определению числовой дроби, данному в самом первом уроке.

Но что, если в числителе или знаменателе разместить более сложный объект? Например, другую числовую дробь? Такие конструкции возникают довольно часто, особенно при работе с длинными выражениями. Вот пара примеров:

Правило работы с многоэтажными дробями всего одно: от них надо немедленно избавляться. Удалить «лишние» этажи довольно просто, если вспомнить, что дробная черта означает стандартную операцию деления. Поэтому любую дробь можно переписать следующим образом:

Пользуясь этим фактом и соблюдая порядок действий, мы легко сведем любую многоэтажную дробь к обычной. Взгляните на примеры:

Задача. Переведите многоэтажные дроби в обычные:

В каждом случае перепишем основную дробь, заменив разделительную черту знаком деления. Также вспомним, что любое целое число представимо в виде дроби со знаменателем 1. Т.е. 12 = 12/1; 3 = 3/1. Получаем:

В последнем примере перед окончательным умножением дроби были сокращены.

Специфика работы с многоэтажными дробями

В многоэтажных дробях есть одна тонкость, которую всегда надо помнить, иначе можно получить неверный ответ, даже если все вычисления были правильными. Взгляните:

В числителе стоит отдельное число 7, а в знаменателе - дробь 12/5;
В числителе стоит дробь 7/12, а в знаменателе - отдельное число 5.

Итак, для одной записи получили две совершенно разных интерпретации. Если подсчитать, ответы тоже будут разными:

Чтобы запись всегда читалась однозначно, используйте простое правило: разделяющая черта основной дроби должна быть длиннее, чем черта вложенной. Желательно - в несколько раз.

Если следовать этому правилу, то приведенные выше дроби надо записать так:

Да, возможно, это некрасиво и занимает слишком много места. Зато вы будете считать правильно. Напоследок - пара примеров, где действительно возникают многоэтажные дроби:

Задача. Найдите значения выражений:

Итак, работаем с первым примером. Переведем все дроби в неправильные, а затем выполним операции сложения и деления:

Аналогично поступим со вторым примером. Переведем все дроби в неправильные и выполним требуемые операции. Чтобы не утомлять читателя, я опущу некоторые очевидные выкладки. Имеем:

Благодаря тому, что в числителе и знаменателе основных дробей стоят суммы, правило записи многоэтажных дробей соблюдается автоматически. Кроме того, в последнем примере мы намеренно оставили число 46/1 в форме дроби, чтобы выполнить деление.

Также отмечу, что в обоих примерах дробная черта фактически заменяет скобки: первым делом мы находили сумму, и лишь затем - частное.

Кто-то скажет, что переход к неправильным дробям во втором примере был явно избыточным. Возможно, так оно и есть. Но этим мы страхуем себя от ошибок, ведь в следующий раз пример может оказаться намного сложнее. Выбирайте сами, что важнее: скорость или надежность.

Формулировка задачи: Найдите значение выражения (действия с дробями).

Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 1 (Действия с дробями).

Рассмотрим, как решаются подобные задачи на примерах.

Пример задачи 1:

Найдите значение выражения 5/4 + 7/6: 2/3.

Вычислим значение выражения. Для этого определим порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание. И выполним необходимые действия в нужном порядке:

Ответ: 3

Пример задачи 2:

Найдите значение выражения (3,9 – 2,4) ∙ 8,2

Ответ: 12,3

Пример задачи 3:

Найдите значение выражения 27 ∙ (1/3 – 4/9 – 5/27).

Вычислим значение выражения. Для этого определим порядок действий: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание. При этом действия в скобках выполняются раньше, чем действия за скобками. И выполним необходимые действия в нужном порядке:

Ответ: –8

Пример задачи 4:

Найдите значение выражения 2,7 / (1,4 + 0,1)

Ответ: 1,8

Пример задачи 5:

Найдите значение выражения 1 / (1/9 – 1/12).

Ответ: 36

Пример задачи 6:

Найдите значение выражения (0,24 ∙ 10^6) / (0,6 ∙ 10^4).

Ответ: 40

Пример задачи 7:

Найдите значение выражения (1,23 ∙ 45,7) / (12,3 ∙ 0,457).

Ответ: 10

Пример задачи 8:

Найдите значение выражения (728^2 – 26^2) : 754.

В статье покажем, как решать дроби на простых понятных примерах. Разберемся, что такое дробь и рассмотрим решение дробей !

Понятие дроби вводится в курс математики начиная с 6 класса средней школы.

Дроби имеют вид: ±X/Y, где Y - знаменатель, он сообщает на сколько частей разделили целое, а X - числитель, он сообщает, сколько таких частей взяли. Для наглядности возьмем пример с тортом:

В первом случае торт разрезали поровну и взяли одну половину, т.е. 1/2. Во втором случае торт разрезали на 7 частей, из которых взяли 4 части, т.е. 4/7.

Если часть от деления одного числа на другое не является целым числом, ее записывают в виде дроби.

Например, выражение 4:2 = 2 дает целое число, а вот 4:7 нацело не делится, поэтому такое выражение записывается в виде дроби 4/7.

Иными словами дробь - это выражение, которое обозначает деление двух чисел или выражений, и которое записывается с помощью дробной черты.

Если числитель меньше знаменателя - дробь является правильной, если наоборот - неправильной. В состав дроби может входить целое число.

Например, 5 целых 3/4.

Данная запись означает, что для того, чтобы получить целую 6 не хватает одной части от четырех.

Если вы хотите запомнить, как решать дроби за 6 класс , вам надо понять, что решение дробей , в основном, сводится к понимаю нескольких простых вещей.

Дробь по сути это выражение доли. То есть числовое выражение того, какую часть составляет данное значение от одного целого. К примеру дробь 3/5 выражает, что, если мы поделили что то целое на 5 частей и количество долей или частей это этого целого - три.
Дробь может быть меньше 1, например 1/2(или по сути половина), тогда она правильная. Если дробь больше 1, к примеру 3/2(три половины или один с половиной), то она неправильная и для упрощения решения, нам лучше выделить целую часть 3/2= 1 целая 1/2.
Дроби это такие же числа, как 1, 3, 10, и даже 100, только числа это не целые а дробные. С ними можно выполнять все те же операции, что с числами. Считать дроби не сложнее, и далее на конкретных примерах мы это покажем.

Как решать дроби. Примеры.

К дробям применимы самые разные арифметические операции.

Приведение дроби к общему знаменателю

Например, необходимо сравнить дроби 3/4 и 4/5.

Чтобы решить задачу, сначала найдем наименьший общий знаменатель, т.е. наименьшее число, которое делится без остатка на каждый из знаменателей дробей

Наименьший общий знаменатель(4,5) = 20

Затем знаменатель обоих дробей приводится к наименьшему общему знаменателю

Ответ: 15/20

Сложение и вычитание дробей

Если необходимо посчитать сумму двух дробей, их сначала приводят к общему знаменателю, затем складывают числители, при этом знаменатель останется без изменений. Разность дробей считается аналогичным образом, различие лишь в том, что числители вычитаются.

Например, необходимо найти сумму дробей 1/2 и 1/3

Теперь найдем разность дробей 1/2 и 1/4

Умножение и деление дробей

Тут решение дробей несложное, здесь все достаточно просто:

Умножение - числители и знаменатели дробей перемножаются между собой;
Деление - сперва получаем дробь, обратную второй дроби, т.е. меняем местами ее числитель и знаменатель, после чего полученные дроби перемножаем.

Например:

На этом о том, как решать дроби , всё. Если у вас остались какие то вопросы по решению дробей , что то непонятно, то пишите в комментарии и мы обязательно вам ответим.

Если вы учитель, то возможно скачать презентацию для начальной школы (http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html) будет вам кстати.

Решение задач из задачника Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбурд за 6 класс по математике на тему:

Глава I. Обыкновенные дроби.
§ 3. Умножение и деление обыкновенных дробей:
19. Дробные выражения

692 Назовите числитель и знаменатель выражения
РЕШЕНИЕ

693 Напишите дробное выражение, числитель которого За - 2b, а знаменатель - 6,7x + у
РЕШЕНИЕ

694 Запишите в виде дробного выражения частное (3.8 · 4.6 - 0,7): (6,3: 2,1 - 2,6). Найдите значение этого выражения.
РЕШЕНИЕ

695 Найдите значение выражения
РЕШЕНИЕ

698 Найдите значение выражения a/5,7-4,5 + a/2,8+4,4
РЕШЕНИЕ

699 Найдите значение выражения 2x/y - x/2y если x = 18,1 - 10,7 и y = 35 - 23,8;
РЕШЕНИЕ

700 Найти с помощью микрокалькулятора значение выражения 5,4-3,275/3,4*12,5 можно по программе, а значение 3,995/0,675*2,4-0,022 по такой. Выполните вычисления по этим программам. Постройте программу нахождения значения выражения и выполните по ней вычисления
РЕШЕНИЕ

702 На координатном луче отмечены числа a и b. Можно ли указать на луче точку с координатой а:1/2; b:1/3; a:2/3?
РЕШЕНИЕ

704 Найдите произведение дробей 2/3 и 11/7 и дробей, обратных данным. Каким свойством обладают эти два произведения? Проверьте ваше предположение еще на одном примере. Докажите это свойство в общем виде с помощью буквенных выражений.
РЕШЕНИЕ

705 Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения 1 1/3:x, если x = 1; 1/9; 2 3/5; 8/3
РЕШЕНИЕ

706 Составьте задачу по уравнению
РЕШЕНИЕ

707 Ваня и Таня должны были встретиться на станции, чтобы вместе поехать на поезде, который отправляется в 8 ч утра. Ваня думает, что его часы спешат на 35 мин, хотя в действительности они отстают на 15 мин. А Таня - что ее часы отстают на 15 мин, хотя спешат на 10 мин. Что произойдет, если каждый из них, полагаясь на часы, будет стремиться прийти за 5 мин до отхода поезда?
РЕШЕНИЕ

708 Возраст Сережи составляет 2/7 возраста отца. Сереже 12 лет. Сколько лет отцу?
РЕШЕНИЕ

709 Комбайнер за 1 ч скосил пшеницу с площади 3 га, что составляет 15% того, что он скосил за день. Какую площадь скосил комбайнер за день?
РЕШЕНИЕ

710 25% всех деревьев сада составляют груши, остальные 150 - яблони. Сколько грушевых деревьев в саду?
РЕШЕНИЕ

711 Площадь 60 га составляет 0,75 площади поля. Чему равна его площадь
РЕШЕНИЕ

712 Найдите число, если 0,9 его равны 1 2/7.
РЕШЕНИЕ

713 Участок земли, площадь которого 6 га, составляет 2/3 сада, а площадь сада - 3/7 всего приусадебного участка. Чему равна площадь приусадебного участка?
РЕШЕНИЕ

714 По плану бригада должна отремонтировать за месяц 25% дороги между двумя посёлками. За первую неделю отремонтировали 2 км 100 м дороги,что составило 30% месячного плана.Какова длина всей дороги между посёлками?
РЕШЕНИЕ

715 1) В книге 240 страниц. в субботу мальчик прочитал 7,5% всей книги, а в воскресенье -на 12 страниц больше. сколько страниц ему осталось прочитать? 2)Для птицефермы заготовили 2600 т корма. В первый месяц было израсходовано 8,5% корма а во второй на 30т больше. Сколько тонн корма осталось?
РЕШЕНИЕ

716 Найдите значение выражения
РЕШЕНИЕ

717 Нападающие Коля и Никита во время баскетбольного матча принесли своей команде 3/7 и 5/14 всех очков. Сколько очков набрала эта команда, если Коля набрал на 7 больше, чем Никита?
РЕШЕНИЕ

718 Поезд проходит расстояние между городами за 6 ч со скоростью 68 км/ч. Какое время потребуется велосипедисту, чтобы проехать 1/8 этого расстояния со скоростью 17 км/ч?
РЕШЕНИЕ

719 Получили сплав из куска меди объемом 15 см3 и цинка объемом 10 см3. Какова масса 1 см3 сплава, если масса 1 см3 меди 8,9 г, а цинка - 7,1 г? Полученный результат округлите до десятых долей грамма.
РЕШЕНИЕ

720 Кухня в 10 м2 составляет 0,4 всех нежилых помещений квартиры. Площадь нежилых помещений составляет 5/18 площади всей квартиры. Найдите ее площадь
РЕШЕНИЕ

721 Вырежьте из плотной бумаги фигуры, изображенные на рисунке 31, и склейте фигуры на рисунке 32.

Определения дробных выражений

Сегодня на уроке мы с вами приступим к изучению дробных выражений. Для начала начнем с определения, и узнаем, какие именно выражения принято называть дробными.

Дробные выражения – это частное 2-х чисел или выражений, знак деления которого обозначают чертой.

В дробном выражении, то выражение, которое стоит под этой дробной чертой, называют знаменателем.

В дробном выражении его числителями и знаменателями являются какие-либо числа или буквенные выражения.

Вот несколько примеров дробных выражений:

Также как и с обыкновенными дробями, так и с дробными выражениями все действия делаются по одним и тем же правила.

Что такое простая дробь

Прежде чем приступить к изучению дробных выражений и выполнению практических заданий, давайте вспомним, что такое дроби.

Простой дробью называют часть единицы или ее нескольких частей.

Знаменателем простой дроби называют то количество равных частей, на которое делится единица. А числителем простой дроби называют количество взятых частей.

Простая дробь записывается в таком виде:

Из этого следует, что дробь - это число, составленное из целого числа долей единицы.

Историческая справка о математических дробях

А теперь давайте заглянем в историю и попробуем узнать, когда люди познакомились с понятием дробь. Естественно, что это понятие возникло не сразу, вначале у человека сформировалось представление о целых числах, а потом люди пришли к пониманию «половины».

Вначале древний человек научился считать предметы, но позднее пришло понимание для измерения длины, времени, площади и вести расчеты при купле-продаже. А в этих случаях не всегда удавалось использовать только натуральные числа, а необходимо было учитывать и какие-то части или доли. Вот так постепенно и появились дроби.

Исторический след исчисления дробей был замечен в использовании многих народов. В Древнем Вавилоне существовала мера в один талант, что составляло 60 мин, одна мина равнялась 60 шекелей. То есть, можно сказать, что в вавилонской системе исчислений применялись шестидесятеричные дроби.

Древние римляне пользовались двенадцатеричными дробями, поскольку у них в весовой системе один «асе» делился на 12 унций. Так, дробь, которую мы знаем, как 1/12 римляне называли «унцией», а «1/8» получила название «полторы унции».

Индийцам также были известны обыкновенные дроби, но они слегка отличались от наших дробей, так как у индусов отсутствовала дробная черта. У греков была своя запись дробей. Они знаменатель писали сверху, а числитель – снизу. Также часто использовали и такую запись, как 3 5х – это значило три пятых. А вот в русском языке термин «дробь» происходило от глагола «дробить», ломать, делить на части и получил широкое применение только в VIII веке. В первых учебниках по математике вместо дробей использовалось название «ломаные числа».

Домашнее задание

Дайте ответы на следующие вопросы:

1. Назовите действия, которые необходимые выполнить, чтобы найти дробь от числа?
2. Какие вы знаете способы нахождения числа по его значению дроби?
3. Сформулируйте правило умножения обыкновенных дробей.
4. Сформулируйте правило деления обыкновенных дробей.
5. Какие выражения принято называть дробными?
6. Чем дробные выражения отличаются от остальных?

Задание

Перед вами предоставлены различные виды выражений, выберите из них те, которые являются дробными выражениями.

Решите задачи:

1. Таня читает интересную книгу и уже прочла 32 страницы, это составляет 2/3 всей книги. Дайте ответ, сколько в этой книге страниц?

2. Денису четырнадцать лет. Его возраст составляет 2/7 возраста отца. Решите задачу и ответьте, сколько же лет отцу Дениса?